IntelliPaper
Abstract
The purpose of this article is to present a simple algorithm for the analysis of decisions with multiple objectives whose measures of effectiveness are random variables. This paper discusses the possibility of using the probability functions: uniform, normal, exponential, Cauchy, Chi-square, Erlang, Gamma, and Laplace. The algorithm, based on the concepts and methodology of Decision Theory, guides the analyst so that he can interact with the decision- maker. First, the analyst asks the decision-maker to define his objectives in the problem he is going to analyze, as well as the measures of effectiveness to evaluate its achievement. Then, he asks questions to the decision-maker to determine his type of behavior: aversion, proneness or neutrality to risk, for each measure of effectiveness. Next, for each of them, calculate its utility function. At that point, he asks the decision-maker to specify the alternatives to be analyzed with their probability function, their range, their mean, and standard deviation.
Explore Digital Article Text
I. INTRODUCCIÓN
En muchos proyectos se tienen incertidumbre y varios objetivos, por lo que se requiere tener varias medidas de efectividad, al menos una para cada objetivo, y una función utilidad conjunta que evalúe las consecuencias de las decisiones posibles mediante sus medidas de efectividad. Con el fin de tener esa función utilidad hay necesidad de verificar diversos supuestos como la independencia preferencial, la independencia en utilidad y la independencia aditiva, (Keeney and Raiffa, 1976). Dependiendo del cumplimiento de esos supuestos se tienen funciones utilidad de diferentes tipos, que requieren respuestas a preguntas que pueden ser difíciles de contestar para un decisor.
Acosta (2019) desarrolla un algoritmo donde transforma el problema aleatorio en uno determinista y luego aplica el método ProAct para determinar la mejor decisión.
Para transformar el problema aleatorio en uno determinista, Acosta calcula para cada alternativa de decisión i y cada medida de efectividad j, el equivalente bajo certeza, , considerando donde es la función densidad de probabilidad de la medida de efectividad j para la alternativa i; y es la utilidad del decisor sobre la medida de efectividad j.
En el primer artículo (Acosta, 2019), se consideran la función densidad de probabilidad uniforme y la función utilidad exponencial.
En un segundo artículo (Acosta, 2021) utiliza además de la uniforme, las funciones normal y triangular.
Cuando se ha transformado el problema en determinista, se emplea el método ProAct (Hammond et al, 2000) que alterna los análisis de dominancia con los de permutas compensatorias.
En el análisis de dominancia se eliminan todas las opciones dominadas. Se considera que una opción A domina a B cuando todas las medidas de efectividad en A son mejores o iguales que las de B y al menos una de ellas es estrictamente mejor.
Para las permutas compensatorias se le pide al decisor que considere las variaciones en las medidas de efectividad que se deben hacer para que todas las alternativas tengan igual una de esas medidas. En cuanto se logra ello se elimina esa medida de efectividad que es igual para todas las alternativas.
Así, alternando dominancia (para eliminar alternativas) y permutas compensatorias (para eliminar medidas de efectividad) se llega, después de varias iteraciones, a alternativas evaluadas con una sola medida de efectividad. La que tenga el mejor valor en esa medida de efectividad será la mejor opción.
Se presenta a continuación la transformación del problema aleatorio en uno determinista considerando además de la uniforme y la normal, las funciones densidad de probabilidad Cauchy, Chi-cuadrada, Erlang, Gamma y Laplace.
II. TRANSFORMACIÓN DEL PROBLEMA ALEATORIO EN UNO DETERMINISTA
Para esta transformación se calcula, como se mencionó anteriormente, para cada alternativa de decisión i y cada medida de efectividad j, el equivalente bajo certeza, , considerando donde es la función densidad de probabilidad de la medida de efectividad j cuando se toma la alternativa i; es la utilidad del decisor sobre la medida de efectividad j.
Usando la integral anterior, se obtienen las fórmulas que permiten el cálculo de EBC dependiendo de la función densidad de probabilidad, el tipo de comportamiento y si la función utilidad es monotónica creciente o decreciente.
Keeney y Raiffa (1976) establecen que cuando las preferencias son crecientes y se tiene aversión constante al riesgo y para propensión constante al riesgo ; cuando las preferencias son decrecientes y se tiene aversión constante al riesgo y para propensión constante al riesgo
Por ejemplo, para determinar la fórmula para calcular EBC si las preferencias son crecientes, con propensión constante al riesgo y una función densidad de probabilidad de Laplace,
Como se tiene el valor absoluto \left|x{0}-b\right|, entonces \left|x{0}-b\right|=\left{x{0}-b\quad si x{0}\geq b\quad b-x{0}\quad si x{0}<b\right}
Como entonces empleando el logaritmo natural en ambos lados de la ecuación y despejando EBC, queda
La fórmula anterior se colocó en su lugar en la Tabla 2.
De la misma manera se desarrollaron las demás fórmulas que se muestran en las Tablas 1 y 2, donde el de la función uniforme está en el artículo de Acosta (2019) y el de la función normal en el de 2021.
Tabla 1: EBC u(x) creciente y aversión constante al riesgo o u(x) decreciente y propensión
| Función de probabilidad | parámetros | rango | EBC |
| Uniforme, $\frac{1}{b-a}$ | a, b, media = $\frac{a+b}{2}$ | $a \leq x_0 \leq b$ | $\frac{-1}{c}Ln\left|\frac{e^{-cb}-e^{-ca}}{c(a-b)}\right|$ |
| Normal $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x_0-m)^2}{2\sigma^2}}$ | Media = m,varianza = $\sigma^2$ | $-\infty < x_0 < \infty$ | $m - \frac{c\sigma^2}{2}$ |
| Exponencial, $\lambda e^{-\lambda x_0}$ | Media = $\frac{1}{\lambda}$ | $0 \leq x_0$ | $\frac{-1}{c}Ln\frac{\lambda}{c+\lambda}$ |
| Cauchy, $\frac{1}{\pi} \frac{a}{a^{2} + (x_{0} - b)^{2}}$ | Media = b, $a > 0, -\infty < b <$ | $-\infty < x_{0} < \infty$ | b + a |
| Chi-cuadrada, $\frac{x_{0}^{\left(\frac{n}{2}-1\right)} e^{-\frac{x_{0}}{2}}}{2^{\frac{n}{2}\left(\frac{n}{2}-1\right)!}}$ | Media = n | $x_{0} > 0$ | $\frac{-n}{2c}Ln\left(\frac{1}{1+2c}\right)$ |
| Erlang, $\frac{a^{n}x_{0}^{n-1}e^{-ax_{0}}}{(n-1)!}$ | Media = $\frac{n}{a}, a > 0$ | $x_{0} > 0$ | $\frac{-n}{c}Ln\left(\frac{a}{c+a}\right)$ |
| Gamma, $\frac{x_{0}^{a}e^{\frac{-x_{0}}{b}}}{a!b^{a+1}}$ | Media = $(a + 1)b, a > -1, b > 0$ | $x_{0} > 0$ | $\frac{-1}{c}Ln\left(\frac{-1}{(1+bc)^{a+1}}\right)$ |
| Laplace, $\frac{a}{2}e^{-a|x_{0} - b|}$ | Media = b, a > 0, $-\infty < b < \infty$ | $-\infty < x_{0} < \infty$ | $-\frac{1}{c}Ln\left(\frac{a^{2}e^{-bc}}{a^{2}-c^{2}}\right)$ |
Tabla 2: EBC u(x) creciente y propensión constante al riesgo o u(x) decreciente y aversión
| Función de probabilidad | parámetros | rango | EBC |
| Uniforme, $\frac{1}{b-a}$ | a, b | $a \leq x_0 \leq b$ | $\frac{1}{c}Ln\left|\frac{e^{cb}-e^{ca}}{c(b-a)}\right|$ |
| Normal $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x_0-m)^2}{2\sigma^2}}$ | Media = m, varianza = $\sigma^2$ | $-\infty < x_0 < \infty$ | $m + \frac{c\sigma^2}{2}$ |
| Exponencial, $\lambda e^{-\lambda x_0}$ | Media = $\frac{1}{\lambda}$ | $0 \leq x_0$ | $\frac{1}{c}Ln\frac{\lambda}{|c-\lambda|}$ |
| Cauchy, $\frac{1}{\pi}\frac{a}{a^2+(x_0-b)^2}$ | Media = b, $a > 0, -\infty < b < \infty$ | $-\infty < x_0 < \infty$ | b-a |
| Chi-cuadrada, $\frac{x_0^{\left(\frac{n}{2}-1\right)}e^{-\frac{x_0}{2}}}{2^{\frac{n}{2}}\left(\frac{n}{2}-1\right)!}$ | Media = n | $x_0 > 0$ | $\frac{n}{2c}Ln\left(\frac{1}{2c-1}\right)$ |
| Erlang, $\frac{a^n x_0^{n-1}e^{-ax_0}}{(n-1)!}$ | Media = $\frac{n}{a}, a > 0$ | $x_0 > 0$ | $\frac{n}{c}Ln\left(\frac{a}{c-a}\right)$ |
| Gamma, $\frac{x_0^a e^{-\frac{x_0}{b}}}{a!b^{a+1}}$ | Media = (a + 1)b, $a > -1, b > 0$ | $x_0 > 0$ | $\frac{1}{c}Ln\left(\frac{1}{(bc-1)^{a+1}}\right)$ |
| Laplace, $\frac{a}{2}e^{-a|x_0-b|}$ | Media = b, a > 0, $-\infty < b < \infty$ | $-\infty < x_0 < \infty$ | $\frac{1}{c}Ln\left(\frac{a^2e^{bc}}{a^2-c^2}\right)$ |
III. MÉTODO PROACT MODIFICADO
El algoritmo propuesto en este artículo consiste en transformar el problema aleatorio en uno determinista y después aplicar el método ProAct modificándolo, mediante la utilización de una función valor de dos atributos en las permutas compensatorias en vez de preguntar directamente al decisor, como sugieren los autores del método. Si la función valor de dos atributos cumple con la condición de intercambios correspondientes es de tipo aditivo, es decir, .
La condición de intercambios correspondientes (Keeney y Raiffa, 1976) consiste en lo siguiente:
Considere cuatro puntos
Suponga que se cumple lo siguiente:
-
En un aumento b en Y compensa una disminución a en X;
-
En un aumento c en Y compensa una disminución a en X;
-
En un aumento b en Y compensa una disminución d en X;
Si en un aumento c en Y compensa una disminución d en X y esto se cumple independientemente de las cantidades , se dice que se satisface la condición de intercambios correspondiente.
Keeney y Raiffa (1976) mencionan incluso que la función valor puede utilizarse, por facilidad de análisis, aún cuando sus resultados sean aproximaciones a los reales
También, como los tres axiomas de funciones valor son los tres primeros de los siete de las funciones utilidad (De Neufville, 1990) es posible concluir que todas las funciones utilidad son funciones valor y que no todas las funciones valor son funciones utilidad.
A continuación, se presenta el algoritmo donde interactúan el decisor y el analista.
Algoritmo
Parte uno: Definición de objetivos, medidas de efectividad y función utilidad
Paso 1-1 El analista le pide al decisor que defina el horizonte de planeación, los objetivos, las medidas de efectividad y sus rangos, estableciendo si las medidas son monotónicas crecientes o decrecientes.
Paso 1-2 El analista para cada medida de efectividad forma la lotería L cuyas consecuencias son los extremos del rango proporcionado en el paso anterior, le asigna probabilidades de 0.5 a cada una y le pregunta al decisor el equivalente bajo certeza (EBC) de cada lotería.
Paso 1-3 El analista calcula el valor esperado (VE) de cada lotería y determina la función utilidad, u(x) de cada medida de efectividad. Como establecen Keeney y Raiffa (1976) si las preferencias son crecientes (por ejemplo, ganancias) entonces, si EBC = VE, neutralidad al riesgo, u(x) = x; si EBC < VE, aversión al riesgo, ; si EBC > VE, propensión al riesgo, ; si las preferencias son decrecientes (por ejemplo, costos) entonces, si EBC = VE, neutralidad al riesgo, u(x) = -x; si EBC > VE, aversión al riesgo ; si EBC < VE, propensión al riesgo,
Paso 1-4 El analista, para cada medida de efectividad donde el decisor tiene aversión o propensión al riesgo, determina el valor de c > 0, mediante la ecuación u(EBC) = u(L). Para ello puede utilizar el algoritmo Newton-Raphson, ; donde es la primera derivada de f con respecto a c
Parte dos: Estipulación de alternativas
Paso 2-2 El analista calcula el EBC de cada alternativa y medida de efectividad, utilizando las tablas 1 y 2 cuando el decisor tiene aversión o propensión. En el caso de neutralidad EBC = media de la función densidad de probabilidad. El analista presenta los EBC calculados en una Tabla cuyos renglones son las alternativas y las columnas las medidas de efectividad.
Parte tres: Selección de la mejor alternativa.
Paso 3-2 El analista ve las alternativas que no han sido eliminadas. Si sólo queda una, esa es la mejor opción y termina el algoritmo. Si no es así, habrá que continuar con el Paso 3-3.
Paso 3-3 El analista le hará una pregunta al decisor para determinar la función valor para dos medidas de efectividad. Sean X, Y dos medidas de efectividad, donde son los peores valores y son los mejores. El analista le pregunta la cantidad de x donde . Como hay indiferencia
Si se cumple la condición de intercambios correspondientes la función valor es de tipo aditivo, o sea, . Como todas las funciones utilidad son funciones valor, se emplean las funciones determinadas en el Paso 1-3.
que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Al resolver este sistema está determinada la función valor para dos medidas de efectividad.
Si sólo quedan dos medidas de efectividad se evalúan, usando la función valor, todas las alternativas y la que tenga el valor mayor es la mejor opción y termina el algoritmo. Si no es así, habrá que continuar con el Paso 3-4.
Paso 3-4 El analista con la función valor de dos medidas de efectividad, puede hacer que todas las alternativas tengan igual una de esas medidas. En cuanto logra ello se elimina la medida de efectividad que es igual para todas las alternativas, y se regresa al Paso 3-1.
Se presenta ahora un ejemplo donde se aplican los pasos del algoritmo.
IV. EJEMPLO. ELECCIÓN DEL SITIO DONDE SE VA A CONSTRUIR UN AEROPUERTO
Parte uno: Definición de objetivos, medidas de efectividad y función utilidad
Paso 1-1 El analista le pide al decisor que defina el horizonte de planeación, los objetivos, las medidas de efectividad y sus rangos, estableciendo si las preferencias de las medidas son monotónicas crecientes o decrecientes.
El decisor definió como horizonte de planeación 30 años, y cuatro objetivos:
Minimizar el costo de construcción y de operación del aeropuerto. Su medida de efectividad, , es dicho costo en miles de millones de pesos en valor presente; su rango [a, b] = [50, 200] mil millones de pesos; su preferencia es monotónica decreciente.
Minimizar el tiempo de acceso al aeropuerto. Su medida de efectividad, , es el tiempo promedio para llegar al aeropuerto desde diferentes zonas en minutos; su rango [a, b] = [15, 90] minutos; su preferencia es monotónica decreciente.
Maximizar la capacidad del aeropuerto. Su medida, , es el número de despegues y aterrizajes por hora; su rango [a, b] = [50, 250] operaciones por hora; su preferencia es monotónica creciente.
Minimizar el efecto de la contaminación del ruido causado por los aviones. Su medida, , es el número de miles de personas sujetas a un nivel de ruido de 80 decibeles o más; su rango [a, b] = [10, 200] miles de personas; su preferencia es monotónica decreciente.
Paso 1-2 El analista para cada medida de efectividad forma la lotería L cuyas consecuencias son los extremos del rango proporcionado en el paso anterior, le asigna probabilidades de 0.5 a cada extremo y le pregunta al decisor el equivalente bajo certeza (EBC) de cada lotería.
En la Tabla 3 están las respuestas del decisor.
Tabla 3: EBC de la lotería L = [a, 0.5; b, 0.5]
| Medida de efectividad | a | b | EBC |
| $x_{1}$ : costo | 50 | 200 | 140 |
| $x_{2}$ : tiempo de acceso | 15 | 90 | 60 |
| $x_{3}$ : capacidad | 50 | 250 | 120 |
| $x_{4}$ : personas afectadas por el ruido | 10 | 200 | 120 |
Paso 1-3 El analista calcula el valor esperado (VE) de cada lotería. Con los valores de EBC y VE, así como el conocimiento si la medida de efectividad es monotónica creciente o decreciente, utilizando las Tablas 1 y 2, determina la función utilidad, u(x). El resultado está en la Tabla 4.
Tabla 4: u(x) para cada medida de efectividad
| Medida de efectividad | Lotería | VE | Función monotónica | VE vs EBC | u(x) |
| $x_1$ | L(50, 0.5; 200, 0.5) | 125 | decreciente | VE<EBC | $-e^{cx}$ |
| $x_2$ | L(15, 0.5; 90, 0.5) | 52.5 | decreciente | VE<EBC | $-e^{cx}$ |
| $x_3$ | L(50, 0.5; 250, 0.5) | 150 | creciente | VE>EBC | $-e^{-cx}$ |
| $x_4$ | L(10, 0.5; 200, 0.5) | 105 | decreciente | VE<EBC | $-e^{cx}$ |
Paso 1-4 El analista, para cada medida de efectividad donde el decisor tiene aversión o propensión al riesgo, formula la ecuación u(EBC) = u(L), que es una ecuación con una sola incógnita, el parámetro c, y resuelve dicha ecuación. (Puede utilizar el algoritmo Newton-Raphson)
Para la primera medida de efectividad,
De manera que
Su derivada
Proporciona c = 0.00548, luego
Para la segunda medida de efectividad,
De manera que
Su derivada
Utilizando el algoritmo Newton-Raphson
Proporciona c = 0.01096, luego
Para la tercera medida de efectividad,
De manera que
Su derivada
Utilizando el algoritmo Newton-Raphson
Proporciona c = 0.00639, luego
Para la cuarta medida de efectividad,
De manera que
Su derivada
Utilizando el algoritmo Newton-Raphson
Proporciona , luego
Parte dos: Estipulación de alternativas
Paso 2-1 El analista le pide al decisor que estipule las alternativas, precisando para cada una de ellas la función densidad de probabilidad de cada medida de efectividad, su rango, su media y su desviación estándar. Información que se presenta en las Tablas 5 a 8.
Tabla 5: Medida de efectividad 1. Costo (miles de millones de pesos)
| Alternativa | Función densidad | Rango | Media $m = \frac{a+b}{2}$ | Desviación estándar $\sigma = \frac{b-a}{\sqrt{12}}$ | |
| a | b | ||||
| Sitio 1 | Uniforme | 50 | 70 | 60 | 5.773503 |
| Sitio 2 | Uniforme | 60 | 100 | 80 | 11.54701 |
| Sitio 3 | Uniforme | 80 | 120 | 100 | 11.54701 |
| Sitio 4 | Uniforme | 100 | 200 | 150 | 28.86751 |
| Sitio 5 | Uniforme | 60 | 90 | 75 | 8.660254 |
| Sitio 6 | Uniforme | 90 | 150 | 120 | 17.32051 |
| Sitio 7 | Uniforme | 130 | 190 | 160 | 17.32051 |
| Sitio 8 | Uniforme | 120 | 140 | 130 | 5.773503 |
| Sitio 9 | Uniforme | 130 | 170 | 150 | 11.54701 |
| Sitio 10 | Uniforme | 150 | 180 | 165 | 8.660254 |
Tabla 6: Medida de efectividad 2. Tiempo de acceso (minutos)
| Alternativa | Función densidad | Rango | Media $m = \frac{a+b}{2}$ | Desviación estándar $\sigma = \frac{b-m}{3.6}$ | |
| a | b | ||||
| Sitio 1 | Normal | 15 | 35 | 25 | 2.777778 |
| Sitio 2 | Normal | 35 | 55 | 45 | 2.777778 |
| Sitio 3 | Normal | 55 | 75 | 65 | 2.777778 |
| Sitio 4 | Normal | 75 | 90 | 82.5 | 2.083333 |
| Sitio 5 | Normal | 20 | 40 | 30 | 2.777778 |
| Sitio 6 | Normal | 40 | 60 | 50 | 2.777778 |
| Sitio 7 | Normal | 60 | 80 | 70 | 2.777778 |
| Sitio 8 | Normal | 15 | 75 | 45 | 8.333333 |
| Sitio 9 | Normal | 35 | 90 | 62.5 | 7.638889 |
| Sitio 10 | Normal | 20 | 30 | 25 | 1.388889 |
Tabla 7: Medida de efectividad 3. Capacidad (operaciones por hora)
| Alternativa | Función densidad | Rango | Media $m = \frac{a+b}{2}$ | Desviación estándar $\sigma = \frac{b-m}{3.6}$ | |
| a | b | ||||
| Sitio 1 | Normal | 50 | 100 | 75 | 6.944444 |
| Sitio 2 | Normal | 100 | 150 | 125 | 6.944444 |
| Sitio 3 | Normal | 150 | 200 | 175 | 6.944444 |
| Sitio 4 | Normal | 200 | 250 | 225 | 6.944444 |
| Sitio 5 | Normal | 70 | 120 | 95 | 6.944444 |
| Sitio 6 | Normal | 140 | 160 | 150 | 2.777778 |
| Sitio 7 | Normal | 180 | 220 | 200 | 5.555556 |
| Sitio 8 | Normal | 240 | 250 | 245 | 1.388889 |
| Sitio 9 | Normal | 220 | 230 | 225 | 1.388889 |
| Sitio 10 | Normal | 200 | 210 | 205 | 1.388889 |
Tabla 8: Medida de efectividad 4. Personas afectadas por el ruido (miles de personas) Paso 2-2 El analista calcula el EBC de cada alternativa y medida de efectividad, utilizando las tablas 3 y 4. Y presenta los EBC calculados en una Tabla cuyos renglones son las alternativas y las columnas las medidas de efectividad. El resultado está en la Tabla 9.
| Alternativa | Función densidad | Rango | Media $m = \frac{a+b}{2}$ | Desviación estándar $\sigma = \frac{b-m}{3.6}$ | |
| a | b | ||||
| Sitio 1 | Normal | 10 | 50 | 30 | 5.555556 |
| Sitio 2 | Normal | 50 | 100 | 75 | 6.944444 |
| Sitio 3 | Normal | 100 | 150 | 125 | 6.944444 |
| Sitio 4 | Normal | 150 | 200 | 175 | 6.944444 |
| Sitio 5 | Normal | 40 | 70 | 55 | 4.166667 |
| Sitio 6 | Normal | 60 | 110 | 85 | 6.944444 |
| Sitio 7 | Normal | 130 | 170 | 150 | 5.555556 |
| Sitio 8 | Normal | 30 | 70 | 50 | 5.555556 |
| Sitio 9 | Normal | 70 | 120 | 95 | 6.944444 |
| Sitio 10 | Normal | 140 | 160 | 150 | 2.777778 |
| Alternativas | Costo | Tiempo de acceso | Capacidad | Afectación por ruido |
| Sitio 1 | 60.09 | 25.02 | 74.85 | 30.05 |
| Sitio 2 | 80.37 | 45.03 | 124.85 | 75.08 |
| Sitio 3 | 100.37 | 65.03 | 174.85 | 125.08 |
| Sitio 4 | 152.28 | 82.51 | 224.85 | 175.08 |
| Sitio 5 | 75.21 | 30.03 | 94.85 | 55.03 |
| Sitio 6 | 120.82 | 50.03 | 149.98 | 85.08 |
| Sitio 7 | 160.82 | 70.02 | 199.90 | 150.05 |
| Sitio 8 | 130.09 | 45.22 | 244.99 | 50.05 |
| Sitio 9 | 150.37 | 62.69 | 224.99 | 95.08 |
| Sitio 10 | 165.21 | 25.01 | 204.99 | 150.01 |
| Alternativas | Costo | Tiempo de acceso | Capacidad | Afectación por ruido |
| Sitio 1 | 60.09 | 25.02 | 74.85 | 30.05 |
| Sitio 2 | 80.37 | 45.03 | 124.85 | 75.08 |
| Sitio 3 | 100.37 | 65.03 | 174.85 | 125.08 |
| Sitio 4 | 152.28 | 82.51 | 224.85 | 175.08 |
| Sitio 5 | 75.21 | 30.03 | 94.85 | 55.03 |
| Sitio 6 | 120.82 | 50.03 | 149.98 | 85.08 |
| Sitio 7 | 160.82 | 70.02 | 199.90 | 150.05 |
| Sitio 8 | 130.09 | 45.22 | 244.99 | 50.05 |
| Sitio 9 | 150.37 | 62.69 | 224.99 | 95.08 |
| Sitio 10 | 165.21 | 25.01 | 204.99 | 150.01 |
Paso 3-1 El analista encuentra y elimina las alternativas dominadas. La alternativa A domina a la B cuando A es mejor que B en algunas medidas de efectividad y en todas los demás es igual que B.
El sitio 8 domina a los sitios 4 y 7, por lo cual quedan eliminados. Quedando así la Tabla 10.
Tabla 10: Equivalentes bajo certeza
| Alternativas | Costo | Tiempo de acceso | Capacidad | Afectación por ruido |
| Sitio 1 | 60.09 | 25.02 | 74.85 | 30.05 |
| Sitio 2 | 80.37 | 45.03 | 124.85 | 75.08 |
| Sitio 3 | 100.37 | 65.03 | 174.85 | 125.08 |
| Sitio 5 | 75.21 | 30.03 | 94.85 | 55.03 |
| Sitio 6 | 120.82 | 50.03 | 149.98 | 85.08 |
| Sitio 8 | 130.09 | 45.22 | 244.99 | 50.05 |
| Sitio 9 | 150.37 | 62.69 | 224.99 | 95.08 |
| Sitio 10 | 165.21 | 25.01 | 204.99 | 150.01 |
| Alternativas | Costo | Tiempo de acceso | Capacidad | Afectación por ruido |
| Sitio 1 | 60.09 | 25.02 | 74.85 | 30.05 |
| Sitio 2 | 80.37 | 45.03 | 124.85 | 75.08 |
| Sitio 3 | 100.37 | 65.03 | 174.85 | 125.08 |
| Sitio 5 | 75.21 | 30.03 | 94.85 | 55.03 |
| Sitio 6 | 120.82 | 50.03 | 149.98 | 85.08 |
| Sitio 8 | 130.09 | 45.22 | 244.99 | 50.05 |
| Sitio 9 | 150.37 | 62.69 | 224.99 | 95.08 |
| Sitio 10 | 165.21 | 25.01 | 204.99 | 150.01 |
Paso 3-2 El analista ve las alternativas que no han sido eliminadas. Si sólo queda una, esa es la mejor opción y termina el algoritmo. Si no es así, habrá que continuar con el Paso 3-3.
Como aún hay 8 sitios no dominados, se continúa con el Paso 3-3
Paso 3-3 El analista le hará una pregunta al decisor para determinar la función valor para dos medidas de efectividad.
El analista escoge dos medidas de efectividad. En este ejemplo seleccionó : costo con rango [50, 200] y : tiempo de acceso con rango [15,90].
El analista le pregunta al decisor el valor de que le hace indiferente (200, 15) con . El decisor contestó .
Por lo anterior,
Como entonces donde que fueron determinadas en el Paso 1-4.
Esta ecuación junto con constituye un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que al resolverlo se tiene ,
Como el número de medidas de efectividad que permanecen es diferente de 2, habrá que continuar con el paso siguiente.
Paso 3-4 El analista con la función valor de dos medidas de efectividad, puede hacer que todas las alternativas tengan igual una de esas medidas. En cuanto se logra ello se elimina la medida de efectividad que es igual para todas las alternativas, y el analista regresa al Paso 3-1.
El analista fijó el tiempo de acceso minutos y calculó el costo que deben tener las alternativas. Para hacer este cálculo, empleó
Que proporciona
Los costos nuevos, calculados con la fórmula anterior, se muestran en la Tabla 11.
Tabla 11: Nuevos equivalentes bajo certeza
| Alternativas | Costo | Tiempo de acceso | Capacidad | Afectación por ruido |
| Sitio 1 | 60.09 | 25.02 | 74.85 | 30.05 |
| Sitio 2 | 109.70 | 25.02 | 124.85 | 75.08 |
| Sitio 3 | 155.24 | 25.02 | 174.85 | 125.08 |
| Sitio 5 | 82.58 | 25.02 | 94.85 | 55.03 |
| Sitio 6 | 150.98 | 25.02 | 149.98 | 85.08 |
| Sitio 8 | 153.08 | 25.02 | 244.99 | 50.05 |
| Sitio 9 | 190.75 | 25.02 | 224.99 | 95.08 |
| Sitio 10 | 165.19 | 25.02 | 204.99 | 150.01 |
| Alternativas | Costo | Tiempo de acceso | Capacidad | Afectación por ruido |
| Sitio 1 | 60.09 | 25.02 | 74.85 | 30.05 |
| Sitio 2 | 109.70 | 25.02 | 124.85 | 75.08 |
| Sitio 3 | 155.24 | 25.02 | 174.85 | 125.08 |
| Sitio 5 | 82.58 | 25.02 | 94.85 | 55.03 |
| Sitio 6 | 150.98 | 25.02 | 149.98 | 85.08 |
| Sitio 8 | 153.08 | 25.02 | 244.99 | 50.05 |
| Sitio 9 | 190.75 | 25.02 | 224.99 | 95.08 |
| Sitio 10 | 165.19 | 25.02 | 204.99 | 150.01 |
Como todas las alternativas tienen el mismo tiempo de acceso se elimina esa medida de efectividad quedando la Tabla 12.
Tabla 12: Nuevos equivalentes bajo certeza Se regresa al paso 3-1
| Alternativas | Costo | Capacidad | Afectación por ruido |
| Sitio 1 | 60.09 | 74.85 | 30.05 |
| Sitio 2 | 109.70 | 124.85 | 75.08 |
| Sitio 3 | 155.24 | 174.85 | 125.08 |
| Sitio 5 | 82.58 | 94.85 | 55.03 |
| Sitio 6 | 150.98 | 149.98 | 85.08 |
| Sitio 8 | 153.08 | 244.99 | 50.05 |
| Sitio 9 | 190.75 | 224.99 | 95.08 |
| Sitio 10 | 165.19 | 204.99 | 150.01 |
| Alternativas | Costo | Capacidad | Afectación por ruido |
| Sitio 1 | 60.09 | 74.85 | 30.05 |
| Sitio 2 | 109.70 | 124.85 | 75.08 |
| Sitio 3 | 155.24 | 174.85 | 125.08 |
| Sitio 5 | 82.58 | 94.85 | 55.03 |
| Sitio 6 | 150.98 | 149.98 | 85.08 |
| Sitio 8 | 153.08 | 244.99 | 50.05 |
| Sitio 9 | 190.75 | 224.99 | 95.08 |
| Sitio 10 | 165.19 | 204.99 | 150.01 |
Paso 3-1 El analista encuentra y elimina las alternativas dominadas.
El sitio 8 domina a los sitios 9 y 10, por lo que se eliminan los sitios dominados, quedando la Tabla 13.
Tabla 13: Nuevos equivalentes bajo certeza
| Alternativas | Costo | Capacidad | Afectación por ruido |
| Sitio 1 | 60.09 | 74.85 | 30.05 |
| Sitio 2 | 109.70 | 124.85 | 75.08 |
| Sitio 3 | 155.24 | 174.85 | 125.08 |
| Sitio 5 | 82.58 | 94.85 | 55.03 |
| Sitio 6 | 150.98 | 149.98 | 85.08 |
| Sitio 8 | 153.08 | 244.99 | 50.05 |
| Alternativas | Costo | Capacidad | Afectación por ruido |
| Sitio 1 | 60.09 | 74.85 | 30.05 |
| Sitio 2 | 109.70 | 124.85 | 75.08 |
| Sitio 3 | 155.24 | 174.85 | 125.08 |
| Sitio 5 | 82.58 | 94.85 | 55.03 |
| Sitio 6 | 150.98 | 149.98 | 85.08 |
| Sitio 8 | 153.08 | 244.99 | 50.05 |
Paso 3-2 El analista ve las alternativas que no han sido eliminadas. Si sólo queda una, esa es la mejor opción y termina el algoritmo. Si no es así, habrá que continuar con el Paso 3-3.
Como aún hay 6 sitios no dominados, se continúa con el Paso 3-3
Paso 3-3 El analista le hará una pregunta al decisor para determinar la función valor para dos medidas de efectividad.
El analista escoge dos medidas de efectividad. En este ejemplo seleccionó : costo con rango [50, 200] y : capacidad con rango [50, 250].
El analista le pregunta al decisor el valor de que le hace indiferente (200, 250) con . El decisor contestó .
Por lo anterior,
Como entonces donde que fueron determinadas en el Paso 1-4.
Esta ecuación junto con constituye un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que al resolverlo se tiene ,
Como el número de medidas de efectividad que permanecen es diferente de 2, habrá que continuar con el paso siguiente.
Paso 3-4 El analista con la función valor de dos medidas de efectividad, puede hacer que todas las alternativas tengan igual una de esas medidas. En cuanto se logra ello se elimina la medida de efectividad que es igual para todas las alternativas, y el analista regresa al Paso 3-1.
El analista fijó la capacidad operaciones por hora y calculó el costo que deben tener las alternativas. Para hacer este cálculo, empleó
Que proporciona
Los costos nuevos, calculados con la fórmula anterior, se muestran en la Tabla 14.
Tabla 14: Nuevos equivalentes bajo certeza Como todas las alternativas tienen la misma capacidad se elimina esa medida de efectividad quedando la Tabla 15.
| Alternativas | Costo | Capacidad | Afectación por ruido |
| Sitio 1 | 177.60 | 244.99 | 30.05 |
| Sitio 2 | 171.70 | 244.99 | 75.08 |
| Sitio 3 | 181.44 | 244.99 | 125.08 |
| Sitio 5 | 174.46 | 244.99 | 55.03 |
| Sitio 6 | 189.25 | 244.99 | 85.08 |
| Sitio 8 | 153.08 | 244.99 | 50.05 |
Tabla 15: Nuevos equivalentes bajo certeza
| Alternativas | Costo | Afectación por ruido |
| Sitio 1 | 177.60 | 30.05 |
| Sitio 2 | 171.70 | 75.08 |
| Sitio 3 | 181.44 | 125.08 |
| Sitio 5 | 174.46 | 55.03 |
| Sitio 6 | 189.25 | 85.08 |
| Sitio 8 | 153.08 | 50.05 |
Paso 3-1 El analista encuentra y elimina las alternativas dominadas.
El sitio 8 domina a los sitios 2, 3, 5 y 6, por lo que se eliminan los sitios dominados, quedando la Tabla 16.
Tabla 16: Nuevos equivalentes bajo certeza
| Alternativas | Costo | Afectación por ruido |
| Sitio 1 | 177.60 | 30.05 |
| Sitio 8 | 153.08 | 50.05 |
Paso 3-2 El analista ve las alternativas que no han sido eliminadas. Si sólo queda una, esa es la mejor opción y termina el algoritmo. Si no es así, habrá que continuar con el Paso 3-3.
Como aún hay 2 sitios no dominados, se continúa con el Paso 3-3
Paso 3-3 El analista le hará una pregunta al decisor para determinar la función valor para dos medidas de efectividad.
Sólo quedan dos medidas de efectividad : costo con rango [50, 200] y : afectación por ruido con rango [10,200].
El analista le pregunta al decisor el valor de que le hace indiferente (200, 10) con . El decisor contestó .
Por lo anterior,
Como entonces donde que fueron determinadas en el Paso 1-4.
Esta ecuación junto con constituye un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que al resolverlo se tiene ,
Como sólo quedan dos medidas de efectividad, usando la ecuación anterior, se calcula el valor de los sitios 1 y 8 y se elige el que tenga mayor valor. Así, , por lo que el sitio 8 es el mejor.
V. CONCLUSIONES
En este artículo se presenta un algoritmo donde interactúan un decisor y un analista. El analista le hace preguntas al decisor y con sus respuestas efectúa los cálculos requeridos.
El algoritmo siempre converge a una solución óptima.
Los análisis deterministas son más sencillos que los aleatorios, con lo que se logran simplificaciones importantes que permiten llegar a la solución con un esfuerzo mínimo tanto del decisor como del analista.
Este algoritmo es útil cuando existe un solo decisor, una sola etapa y las distribuciones de probabilidad son: uniforme, normal, exponencial, Cauchy, Chi-cuadrada, Erlang, Gamma y Laplace. Si en el problema que se estuviese analizando las distribuciones fuesen diferentes, este artículo presenta el procedimiento para que el analista pueda determinar los valores requeridos de los equivalentes bajo certeza.
Conflict of Interest
The authors declare no conflict of interest.
Ethical Approval
Not applicable
Data Availability
The datasets used in this study are openly available at [repository link] and the source code is available on GitHub at [GitHub link].
Funding
This work did not receive any external funding.
References
Cite this article
Related Research
Special Issue
Launch a focused special issue to highlight research, emerging trends, and expert insights in your academic field.
