Dynamics of States with Non-Zero Moment in Own Field

churchev

IntelliPaper

Peer Review Double Blind Handling Editor
Accepted 14 October 2023 Access Review Comments
Online published 30 October 2023

− Abstract

The paper studies a nonstationary self-consistent quantum system that intensively interacts with its own field. At a non-zero moment, the psi function cannot be independent of the angles of the spherical coordinate system. In this paper, a superposition of angular distributions is found, leading to a spherically symmetric charge distribution for the whole value of the moment (l=1).The paper defines the conditions under which in the case of half-integer values of the moment the charge density distribution turns out to be spherically symmetric. In this case, a self-consistent system can be described by a system of ordinary differential equations. In the final section, a classical collisionless one-component system of charged particles characterized by a nonzero moment is considered.

− Explore Digital Article Text

I. Введение

Изучение нестационарных систем, интенсивно взаимодействующих с собственным полем представляет большой интерес как с экспериментальной, так и с теоретической точек зрения. Особый интерес представляет квантовомеханическая система, использующая нестационарный гамильтониан. В настоящей работе будет использован нестационарный гамильтониан, следующий из работ Мещерского [1]. Этот гамильтониан использован в работе [2] для решения квантовомеханической задачи. В работах [3,4] решались задачи в одномерной конфигурации и сферически симметричная проблема при нулевом орбитальном моменте l=0.

\[В настоящей работе приведено решение уравнения Шредингера в сферических координатах при ненулевом орбитальном моменте, причем рассмотрены задачи с целым (l=1) и полуцелым орбитальным моментом. Так же, как и в работах [3,4] точное решение сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений 4-го порядка.\]

Заметим здесь, что используемый нестационарный гамильтониан может быть использован как для квантовых, так идля классических систем. Кинетическое уравнение с использованием модельного нестационарного гамильтониана, впервые, по-видимому, сформулировано в работе [5]. В дальнейшем динамика нестационарных самосогласованных систем в плоской исферической геометрии изучались в работах [6],[7],[8].

\[Состояния с моментом l=1\]

Состояние квантовой системы с ненулевым моментом в центральном поле описывается уравнением Шредингера:

i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^ {2}}{2 m} \left(\frac{\partial^ {2} \Psi}{\partial r ^ {2}} + \frac{2}{r} \frac{\partial \Psi}{\partial r} - \frac{\hat{L}}{r ^ {2}} \Psi\right) + U (r, t) \Psi (r, t),

здесь

\hat{L} = \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{\sin^{2} \theta} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}.

Положим

\Psi (\vec {r}, t) = \psi (r, t) Y (\varphi , \theta)

При этом

\hat {L} Y = - L Y,

где -квадрат полного момента. При в уравнении присутствуют производные по угловым переменным, что означает отсутствие сферической симметрии изучаемого состояния, что является существенным обстоятельством для систем с собственным полем.

Рассмотрим, далее, случай, когда и введем функцию посредством равенства , причем будем изучать нестационарную систему, описываемую потенциалом вида: , получим:

i\hbar\frac{\partial\psi_1}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2\psi_1}{\partial r^2} + \frac{2(l+1)}{r}\frac{\partial\psi_1}{\partial r}\right) + \frac{1}{\xi(t)^2}U\left(\frac{r}{\xi(t)}\right)\psi_1(r,t),

Здесь функция, удовлетворяющая уравнению: ,

- потенциал собственного поля, - координаты сферической системы.

Введем новые переменные:

Тогда (1.2) приводится к виду:

i\hbar\left(\frac{\partial \psi_1}{\partial \tau} - \rho \frac{\dot{\xi}}{\xi} \frac{\partial \psi_1}{\partial \rho}\right) = -\frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{\partial^2 \psi_1}{\partial \rho^2} + \frac{2(l+1)}{\rho} \frac{\partial \psi_1}{\partial \rho}\right) + U(\rho) \psi_1(\rho, \tau).

Произведем следующее преобразование, положим , где . Для

следует уравнение:

i\hbar\frac{\partial \psi_2}{\partial \tau} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2 \psi_2}{\partial \rho^2} + \frac{2(l+1)}{\rho} \frac{\partial \psi_2}{\partial \rho}\right) + U(\rho)\psi_2(\rho,\tau) - \frac{\lambda m \rho^2}{2} \psi_2 - \frac{i\hbar}{2} \frac{\dot{\xi}}{\xi} (l+\frac{3}{2}) \psi_2

\[При решении самосогласованной задачи с l=1 удобно ввести функцию\]

Получим:

i\hbar\frac{\partial \psi_3}{\partial \tau} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2 \psi_3}{\partial \rho^2} + \frac{4}{\rho} \frac{\partial \psi_3}{\partial \rho}\right) + U \rho \psi_3 \rho \tau - \frac{\lambda m \rho^2}{2} \psi_3 + \frac{i\hbar}{2} \frac{\dot{\xi}}{\xi} \psi_3

В (1.5) положим

\psi_{3} = \exp\left(-\frac{iE\tau}{\hbar}\right)\psi(\rho),\\frac{\xi}{\xi} \equiv const = \frac{1}{2\tau_{0}},\\lambda = -\frac{1}{4\tau_{0}^{2}}.

Тогда

E\psi = - \frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{\partial^2 \psi}{\partial \rho^2} + \frac{4}{\rho} \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\right) + U(\rho)\psi(\rho) - \frac{\lambda m \rho^2}{2} \psi + \frac{i\hbar}{4\tau_0} \psi(\rho).

При этом плотность заряда определяется выражением

\[В случае l=1 угловую часть пси-функции можно рассматривать как состояние со спином\]

единица, описываемое столбцом Положим

: Y = \left\{ \begin{array}{l} Y _ {1} \\Y _ {2} \\Y _ {3} \end{array} \right\}, \text { соответственно } Y ^ {+} \text {-это строка } \left(Y _ {1} ^ {*}, Y _ {2} ^ {*}, Y _ {3} ^ {*}\right).

Y _ {1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta \exp (i \phi), Y _ {2} = \cos \theta , Y _ {3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta \exp (- i \phi).

\overline{M_{z}} = Y^{+} M_{z} Y = 0, \overline{M_{x}} = Y^{+} M_{x} Y = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\theta \cos\phi , \overline{M_{y}} = Y^{+} M_{y} Y = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\theta \sin\phi ,

а плотность заряда, определяемая произведением , не зависит от углов: . В этом случае уравнение для потенциала можно записать в виде:

\frac{1}{\xi^{4}} \frac{1}{\rho^{2}} \frac{d}{d\rho} \rho^{2} \frac{dU}{d\rho} = -\kappa_{*} \rho^{2} |\psi|^{2} \frac{1}{\xi^{4}}.

Здесь -константа связи. Положим, далее, . Получим систему уравнений:

ER = -\frac{\hbar^2}{2m} \left(R" - R\theta'^2 + \frac{4}{\rho} R'\right) + R\left(U - \frac{m\rho^2}{8\tau_0}\right),

-\frac{\hbar^2}{2m}\left(R'\theta'+R\theta''+\frac{4}{\rho}R\theta'\right)+\frac{\hbar}{4\tau_0}

Вместо введем переменную s: . Обозначим

Тогда система принимает вид:

R ^ {\prime \prime} - R y ^ {2} + \frac {4 R ^ {\prime}}{s} = V (s) R - s ^ {2} R,\tag{1.10}

2 R ^ {\prime} y + R y ^ {\prime} + \frac {4}{s} R y = R\tag{1.11}

\frac{d ^ {2} V}{d s ^ {2}} + \frac{2}{s} \frac{d V}{d s} = - \kappa_ {0} s ^ {2} R ^ {2}.

Можно переписать (1.11) в виде: , а (1.12)-в виде

Тогда Полагая

получим уравнение:

\frac{d V}{d s} = - \kappa_ {0} R ^ {2} y s ^ {2}.

Уравнение(1.10) удобно переписать в виде:

\frac{R"}{R} + \frac{4 R'}{s R} = V + y^{2} - s^{2},

a (1.11)-

y ^ {\prime} = - 2 y \frac {R ^ {\prime}}{R} - \frac {4}{s} R y + R.\tag{1.15}

Т.е. имеем систему (1.13)-(1.15).

{"image_source":{"path":"images/9bb1fbfafb035069c10961dd08c0935d5e01b69cb43127c17ded2842b7319bcc.jpg"},"content":"","chart_caption":[],"chart_footnote":[]} {"image_source":{"path":"images/b3a5a36b4814c5118f06ffd711b1a64914df2f9bd65b0c8f3e4a6af353003ceb.jpg"},"content":"","chart_caption":[{"type":"text","content":"Рис. 1: 3 зависимость потенциала (I) и плотности заряда (II) от автомобильной переменной s."},{"type":"text","content":"Рус. 2: Зависимость у (s)."}],"chart_footnote":[]}

На рисунках 1 и 2 изображены результаты решения системы (1.13), (1.14) и (1.15). В качестве начальных условий использовались соотношения: R(o)=10, R'(o)=0, V(o)=100, y(o)=0. Полагалось Зависимость y(s) характеризуется наличием резких и узких максимумов, плотность заряда быстро осциллирует и стремится к нулю, а потенциал убывает монотонно.

\[Состояния с моментом l = 1 / 2\]

В отличие от прельлущего раздела рассмотрим, далее, случай, когда L = 3/4 (l=1/2). Как и в предыдущем случае положим .

Введем функцию посредством равенства , Представим также и потенциал в виде произведения функции от углов на функцию от радиуса: . В дальнейшем будут определены условия, при которых .

Получим:

i\hbar\frac{\partial\psi_1}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2\psi_1}{\partial r^2} + \frac{3}{r}\frac{\partial\psi_1}{\partial r}\right) + \frac{\Delta}{\xi(t)^2}U\left(\frac{r}{\xi(t)}\right)\psi_1(r,t),

\tau = \int \frac{dt'}{\xi(t')^2},\;\rho = \frac{r}{\xi}

Введем новые переменные:

тогда (2.1) приводится к виду:

i\hbar\left(\frac{\partial \psi_1}{\partial \tau} \rho \frac{\dot{\xi}}{\xi} \frac{\partial \psi_1}{\partial \rho}\right) \quad \frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{\partial^2 \psi_1}{\partial \rho^2} \frac{3}{\rho} \frac{\partial \psi_1}{\partial \rho}\right) U \rho \psi_1 \rho \tau

Введем, длее, , положив , где .

Получим:

i\hbar\frac{\partial \psi_2}{\partial \tau} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2 \psi_2}{\partial \rho^2} + \frac{3}{\rho} \frac{\partial \psi_2}{\partial \rho}\right) + U \rho \psi_2 \rho \tau \Delta - \frac{m \rho^2}{8 \tau_0^2} \psi_2 + \frac{i \hbar}{2} \frac{\dot{\xi}}{\xi} \psi_2

Плотность заряда имеет вид: , где Y удовлетворяет уравнению:

\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} + \frac{3}{4} Y + \frac{1}{\sin^{2} \theta} \frac{\partial^{2} Y}{\partial \varphi^{2}} = 0.

Вместо переменной введем . тогда уравнение принимает вид:

ch^{2}\eta\left(\frac{\partial^2 Y}{\partial \eta^2} + \frac{\partial^2 Y}{\partial \varphi^2}\right) = -\frac{3}{4}Y.

Далее будем учитывать спинорный характер -функции и представлять Y в виде столбца: , соответственно -это строка . Проекции момента на оси координат имеют вид:

M _ {x} = Y ^ {+} \sigma_ {x} Y = \Omega \cos \varphi , M _ {y} = Y ^ {+} \sigma_ {y} Y = - \Omega \sin \varphi , M _ {z} = Y ^ {+} \sigma_ {z} Y = 0.

Зависимость плотности от углов определяется произведением и при выбранном представлении не зависит от угла .

Представим потенциал в виде произведения функции от радиуса на функцию от угловых переменных, а поскольку плотность заряда не зависит от , потенциал также не зависит от . Используя переменную вместо получим:

\Delta(\eta) \frac{1}{\rho^2} \frac{d}{d\rho} \rho^2 \frac{dU(\rho)}{d\rho} + \frac{U(\rho)}{\rho^2} \mathrm{ch}^2(\eta) \left(\frac{d^2\Delta}{d\eta^2}\right) = Q.

Здесь Q - плотность заряда. В случае взаимодействия с собственным полем , - константа связи.

Полное отделение функции радиуса от функции угла может быть достигнуто, если выполнены условия: и . Из (2.5) можно получить:

\operatorname{ch} ^ {2} (\eta) \left(2 \Omega^ {\prime \prime} \Omega - \Omega^ {\prime 2} - \Omega^ {2}\right) = - 3 \Omega^ {2}.\tag{2.7}

Исключая из этих соотношений получим уравнение:

\Omega^ {\prime \prime} \Omega (2 \nu + 3) = \nu (\Omega^ {2} + \Omega^ {2}).

Это уравнение имеет интеграл:

C _ {1} = \Omega^ {- \frac{2 v}{2 v + 3}} \left(\Omega^ {\prime 2} - \frac{v}{v + 3} \Omega^ {2}\right)

Введем функцию . Тогда выражение для интеграла принимает вид:

C _ {1} = \left(\frac {2 \nu + 3}{\nu + 3} S ^ {\prime}\right) ^ {2} - \frac {\nu}{\nu + 3} S ^ {2}.

Из этого соотношения следует, что при . В то же время при . Из (2.6) следует уравнение:

\frac{1}{\rho^{2}} \frac{d}{d\rho} \rho^{2} \frac{dU}{d\rho} - \frac{3}{2} \frac{U}{\rho^{2}} = -\kappa_{0} |\psi_{2}|^{2} \rho.

В уравнении (2.3) сделаем замену:

\psi_ {2} = \exp \left(- \frac{i E \tau}{\hbar}\right) R (\rho) \exp (i \theta (\rho)),\tag{2.10}

где E - действительная величина, , -действительные функции. Положив , получим:

ER = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(R" - R\theta'^{2} + \frac{3}{\rho}R'\right) + R\left(U + \frac{\lambda m \rho^{2}}{2}\right),

- rac{\hbar^{2}}{2m}\left(2R'\theta'+R\theta''+\frac{3}{\rho}R\theta'\right)+\frac{\hbar}{4\tau}R=0.

Уравнение (2.9) (с заменой на и (2.11) и (2.12) образуют замкнутую систему, описывающую нестационарную динамику. Вместо введем безразмерную переменную . Обозначим

y = l_{0} \theta', V = \frac{4\tau_{0}(U - E)}{\hbar}, \kappa_{1} = \kappa_{0} = \frac{4\tau_{0}}{\hbar} \left(\frac{2\hbar\tau_{0}}{m}\right)^{2}

Тогда система принимает вид:

R" - R y^{2} + \frac{3 R'}{s} = (V(s) - s^{2}) R,

2 R ^ {\prime} y + R y ^ {\prime} + \frac {3}{s} R y = R,\tag{2.14}

\frac{d ^ {2} V}{d s ^ {2}} + \frac{2}{s} \frac{d V}{d s} - \frac{3}{2} \frac{V (s)}{s ^ {2}} = - \kappa_ {1} s R ^ {2}.

Удобно, далее, ввести функцию . Уравнение (2.14) можно представить в виде: . Тогда (2.15) приводится к виду:

s^{2} \frac{dV}{ds} - \frac{3}{2} W(s) = -\kappa_{1} R^{2} s^{3} y(s) + C_{*}.

По-видимому, система (2.13), (2.14), (2.16) не имеет решения, регулярного в нуле. На Рис.3. приведены решения, использующие краевые условия при . Полагалось . Решение характеризуется колебательным поведением функции и монотонным убыванием потенциала и ростом полного заряда внутри сферы радиуса . Начальная точка счета полагалась . При решение не определено.

{"image_source":{"path":"images/7391ca68369faaedaeca9c6067fa28441eff9655e2bbd9ff8eda849ed35b7bd5.jpg"},"content":"","chart_caption":[{"type":"text","content":"Рис.3: Кривая I-зависимость полного заряда внутри сферы радиуса s от s, кривая II-потенциал, кривая III-зависимость y(s)."}],"chart_footnote":[]}

Состояния с моментом

В отличие от предыдущего раздела рассмотрим, далее, случай, когда .

Как и в предыдущем случае положим . Введем функцию посредством равенства , причем потенциал также представим в виде произведения функции от углов на функцию от .

Получим:

i\hbar\frac{\partial\psi_{1}}{\partial t} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{\partial^{2}\psi_{1}}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r}\frac{\partial\psi_{1}}{\partial r}\right) + \frac{\Delta}{\xi(t)^{2}}U\left(\frac{r}{\xi(t)}\right)\psi_{1}(r,t),

Тогда (3.1) приводится к виду:

i\hbar\left(\frac{\partial \psi_ {1}}{\partial \tau} - \rho \frac{\dot{\xi}}{\xi} \frac{\partial \psi_ {1}}{\partial \rho}\right) = - \frac{\hbar^ {2}}{2 m} \left(\frac{\partial^ {2} \psi_ {1}}{\partial \rho^ {2}} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \psi_ {1}}{\partial \rho}\right) + U (\rho) \psi_ {1} (\rho , \tau) \Delta .

Введем, длее, ,, положив . Получим:

i\hbar\frac{\partial\psi_{2}}{\partial\tau} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{\partial^{2}\psi_{2}}{\partial\rho^{2}} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi_{2}}{\partial\rho}\right) + U(\rho)\psi_{2}(\rho,\tau)\Delta - \frac{m\rho^{2}}{8\tau_{0}^{2}}\psi_{2} + \frac{i\hbar}{2}\frac{\dot{\xi}}{\xi}\psi_{2}.

Плотность заряда имеет вид: , где Y удовлетворяет уравнению:

\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} - \frac{1}{4} Y + \frac{1}{\sin^{2} \theta} \frac{\partial^{2} Y}{\partial \varphi^{2}} = 0.\tag{3.4}

Вместо переменной введем , тогда уравнение принимает вид:

\operatorname{ch}^{2}\eta\left(\frac{\partial^{2}Y}{\partial\eta^{2}}+\frac{\partial^{2}Y}{\partial\varphi^{2}}\right)=\frac{1}{4}Y.

Далее будем учитывать спинорный характер – функции и представлять Y в виде столбца: , соответственно это строка . Зависимость плотности от углов определяется произведением и при выбранном представлении не зависит от угла . Представим потенциал в виде произведения функции от радиуса на функцию от угловых переменных, а поскольку плотность заряда не зависит от , потенциал также не зависит от . Используя переменную вместо получим:

\Delta(\eta) \frac{1}{\rho^2} \frac{d}{d\rho} \rho^2 \frac{dU(\rho)}{d\rho} + \frac{U(\rho)}{\rho^2} \mathrm{ch}^2(\eta) \left(\frac{d^2\Delta}{d\eta^2}\right) = Q.

Здесь Q - плотность заряда. В случае взаимодействия с собственным полем - константа связи. Полное отделение функции радиуса от функции угла может быть

достигнуто, если выполнены условия: и . Из (3.5) можно получить:

\operatorname{ch}^{2}(\eta)\left(2\Omega^{’’}\Omega - \Omega^{’ 2} - \Omega^{2}\right) = \Omega^{2}.

Исключая из этих соотношений получим уравнение:

\Omega"\Omega(2\nu - 1) = \nu(\Omega'{}^{2} + \Omega^{2}).

Это уравнение имеет интеграл: . Введем определение .

Тогда . Из этого соотношения при следует, что

Из (3.6) следует уравнение:

\frac{1}{\rho^{2}} \frac{d}{d\rho} \rho^{2} \frac{dU}{d\rho} + \frac{1}{2} \frac{U}{\rho^{2}} = -\kappa_{0} \frac{|\psi_{2}|^{2}}{\rho}.

В уравнении (3.3) сделаем замену:

\psi_{2} = \left(-\frac{iE\tau}{\hbar}\right) R \rho \quad i \theta \rho\tag{3.10}

Где E - действительная величина, - действительные функции. Положив

получим систему:

ER = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(R" - R\theta'^2 + \frac{1}{\rho}R'\right) + R\left(U + \frac{\lambda m \rho^2}{2}\right)

-\frac{\hbar^2}{2m}\left(R'\theta'+R\theta"+\frac{1}{\rho}R\theta'\right)+\frac{\hbar}{4\tau_0}R=\tag{3.12}

Уравнение (3.9) (с заменой на и (3.11) и (3.12) образуют замкнутую систему, описывающую нестационарную динамику. Вместо ведем безразмерную переменную . Обозначим

y = l_{0} \theta', V = \frac{4\tau_{0}(U - E)}{\hbar}, \kappa_{1} = \kappa_{0} = \frac{4\tau_{0}}{\hbar} \left(\frac{2\hbar\tau_{0}}{m}\right)^{2}

Тогда система принимает вид:

R ^ {\prime \prime} - R y ^ {2} + \frac {R ^ {\prime}}{s} = (V (s) - s ^ {2}) R,\tag{3.13}

2 R ^ {\prime} y + R y ^ {\prime} + \frac {1}{s} R y = R,\tag{3.14}

\frac{d ^ {2} V}{d s ^ {2}} + \frac{2}{s} \frac{d V}{d s} + \frac{1}{2} \frac{V (s)}{s ^ {2}} = - \kappa_ {1} \frac{R ^ {2}}{s}.

При решении этой системы полагалось и использованы граничные условия: . Для получения регулярного в нуле решения необходимо использовать равенство Отметим, что на рис.4 можно видеть, что потенциал (кривая I) и полный заряд (кривая II) медленно изменяются, тогда как (кривая III) колеблется относительно линейно растущей функции.

{"image_source":{"path":"images/df6a02fbb72c47b22643f1d5dd0ed8b089b4ee0c01688d86dc4e186e25dec111.jpg"},"content":"","chart_caption":[{"type":"text","content":"Рис.4: Зависимости потенциала (I), полного заряда (II) и функции у от с"}],"chart_footnote":[]}

Кинетическая модель сферически симметричной системы зарядов

Нестационарный гамильтониан сферически симметричной системы точечных зарядов имеет вид:

H = \frac{p _ {r} ^ {2}}{2 m} + \frac{L}{2 m r ^ {2}} + \frac{1}{\xi^ {2} (t)} U \left(\frac{r}{\xi (t)}\right)\tag{4.1}

Здесь квадрат полного момента количества движения, в классической задаче L > 0, - вспомогательная функция, удовлетворяющая уравнению -константа. Используя выражение для гамильтониана, можно получить выражение для инварианта:

I = \frac {m}{2} (r \xi - \dot {r} \xi) ^ {2} + U \left(\frac {r}{\xi (t)}\right) + \frac {\lambda m}{2} \frac {r ^ {2}}{\xi^ {2}} + \frac {L}{2 m} \frac {\xi^ {2}}{r ^ {2}}.\tag{4.2}

Рассмотрим уравнение для подробнее. Из него следует:

Далее будем полагать , а вместо t введем переменную

\tau = \int_ {0} ^ {t} \frac {d t ;}{\xi (t ^ {\prime}) ^ {2}}. \quad \text { Получим } \frac {d \xi}{d \tau} = \pm \xi \sqrt {(\xi_ {0} ^ {2} - \frac {1}{4 \tau_ {0} ^ {2} \xi_ {0} ^ {2}}) \xi^ {2} + \frac {1}{4 \tau_ {0} ^ {2}}}

В дальнейшем рассматривается случай, когда . При этом

. Подставим в (4.2) переменную вместо t и введем переменную . Тогда инвариант I приводится к виду, аналогичному гамильтониану:

I = \frac {m}{2} \rho^ {2} + U (\rho) - \frac {m}{8 \tau_ {0} ^ {2}} \rho^ {2} + \frac {L}{2 m \rho^ {2}}.\tag{4.3}

В (4.3) точка означает производную по .

Можно, далее, построить интеграл , сопряженный с I Рассмотрим выражение:

J _ {I} = - \tau + \int_ {\rho_ {0}} ^ {\rho} \frac {d \rho^ {\prime} \sigma \left(\frac {2}{m} (I - U (\rho^ {\prime}) + \frac {m \rho^ {\prime 2}}{8 \tau_ {0} ^ {2}} - \frac {L}{m ^ {2} \rho^ {\prime 2}}\right)}{\sqrt {\frac {2}{m} (I - U (\rho^ {\prime}) + \frac {m \rho^ {\prime 2}}{8 \tau_ {0} ^ {2}} - \frac {L}{m ^ {2} \rho^ {\prime 2}})}}\tag{4.4}

здесь - функция Хевисайда, -стартовая точка частицы. Выполнение равенства является очевидным, если частицы движутся от центра. При движении к центру знак перед интегралом должен быть изменен.

Плотность частиц выражается интегралом в фазовом пространстве:

n = d \vec {q} f (I, J _ {I}, L).\tag{4.5}

Элемент фазового пространства представим в виде:

d \vec {q} = d q _ {r} d q _ {\theta} d q _ {\phi}, \quad d q _ {\phi} = \frac {d M _ {\phi}}{r \sin \theta}, d q _ {r} = m d \dot {r} = \frac {d I}{\xi \sqrt {\frac {2}{m} (I - U) - \lambda \frac {r ^ {2}}{\xi^ {2}} - \frac {L \xi^ {2}}{m ^ {2} r ^ {2}}}}, d q _ {\theta} = \frac {d L}{2 r \sqrt {L - \frac {M _ {\phi} ^ {2}}{\sin^ {2} \theta}}}.

Усреднение по приводит к выражению:

n = \frac {\pi}{2 r ^ {2}} \int \frac {d I d L f (I , L , J _ {I}) \sigma \left(\frac {2}{m} (I - U) - \lambda \frac {r ^ {2}}{\xi^ {2}}\right)}{\xi \sqrt {\frac {2}{m} (I - U) - \lambda \frac {r ^ {2}}{\xi^ {2}} - \frac {L \xi^ {2}}{m ^ {2} r ^ {2}}}}.

В переменных:

уравнение Пуассона принимает вид:

\frac {1}{\xi^ {4} (\tau)} \frac {1}{\rho^ {2}} \frac {d}{d \rho} \rho^ {2} \frac {d U}{d \rho} = - \frac {4 \pi e ^ {2}}{\xi^ {3} (\tau) \rho^ {2}} \int \frac {d I d L f (I , L , J _ {I}) \sigma \left(\frac {2}{m} (I - U) - \lambda \frac {r ^ {2}}{\xi^ {2}}\right)}{\sqrt {\frac {2}{m} (I - U (\rho)) - \lambda \rho^ {2} - \frac {L}{m ^ {2} \rho^ {3}}}}.\tag{4.6}

Функция распределения должна содержать множитель, экспоненциально зависящий от . Положим:

f = \kappa_ {*} \delta (I - I _ {0}) \delta (L - L _ {0}) \exp \left\{- \frac {1}{2 \tau_ {0}} J _ {i} \right\}.

Если выполнено условие , то в уравнение Пуассона в качестве независимой переменной входит только . Таким образом, . Обозначим, далее,

\upsilon_ {0} ^ {2} = \frac {2 I _ {0}}{m}, s = \frac {\rho}{2 \tau_ {0} \upsilon_ {0}}, y = \frac {2 U}{m \upsilon_ {0} ^ {2}}, l = \frac {L}{4 m ^ {2} \tau_ {0} ^ {2} \upsilon_ {0} ^ {4}}, u (s) = \int_ {0} ^ {s} \frac {d s ^ {\prime} \sigma \left(1 - y \left(s ^ {\prime}\right) + s ^ {\prime 2} - l / s ^ {\prime 2}\right)}{\sqrt {1 - y \left(s ^ {\prime}\right) - l / s ^ {\prime 2}}}.

Тогда из уравнения Пуассона следует:

\frac {d}{d s} s ^ {2} \frac {d}{d s} y (s) = - 9 u ^ {\prime} e ^ {- u (s)}, u ^ {\prime} (s) = \frac {\sigma (1 - y (s) + s ^ {2} - l / s ^ {2})}{\sqrt {1 - y (s) + s ^ {2} - l / s ^ {2}}}.\tag{4.7}

Константа 9 определяется параметрами задачи -- и зарядом e:

В уравнении(4.7)плотность заряда определяется только уходящими частицами.

частицами. Система интегрируется:

s ^ {2} \frac {d}{d s} y (s) = \vartheta e ^ {- u (s)} + C _ {1}, u ^ {\prime} (s) = \frac {\sigma \left(1 - y (s) + s ^ {2} - l / s ^ {2}\right)}{\sqrt {1 - y (s) + s ^ {2} - l / s ^ {2}}}.\tag{4.8}

Эта система решалась при следующих условиях: .

Следует отметить, что полный заряд сгустка при остается конечным .

{"image_source":{"path":"images/414393105bc9505747b9371588cf7f58da71b0334997eaa4183ed55de4e47857.jpg"},"content":"","chart_caption":[{"type":"text","content":"Рис. 5: 3 зависимость потенциала y(s) (I), полного заряда внутри сферы радиуса s (II) и функции u(s) (III)"}],"chart_footnote":[]}

II. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в работе найдены частные решения модельных нестационарных квантовомеханических задач, характеризуемых ненулевым моментом. Показана возможность построения пси-функции, приводящей к сферически симметричной плотности заряда при l=1. При получены частные решения, при которых также плотность заряда не зависит от углов. Решение кинетической задачи показывает возможность существования сгустка с конечным значением заряда при больших значениях автомодельной переменной.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

− Conflict of Interest

The authors declare no conflict of interest.

− Ethical Approval

Not applicable

− Data Availability

The datasets used in this study are openly available at [repository link] and the source code is available on GitHub at [GitHub link].

− Funding

This work did not receive any external funding.

− References

9 Cites in Article

REFERENCE FORMAT

− Cite this article

Generating citation...

Version of record

v1.0
Issue date

30 October 2023
Language

ru

Dynamics of States with Non-Zero Moment in Own Field

Download Article Access OJS

Open Access

Research Article

CC-BY-NC 4.0

Views 498

Downloads 19

Year

Special Issue

Launch a focused special issue to highlight research, emerging trends, and expert insights in your academic field.

Dynamics of States with Non-Zero Moment in Own Field

IntelliPaper

− Abstract

− Explore Digital Article Text

I. Введение

II. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

− Conflict of Interest

− Ethical Approval

− Data Availability

− Funding

− References

− Cite this article

Version of record

Issue date

Language

Special Issue

Next Research

Copy of Cardiovascular Risk Factors and Cardiovascular Risk in People Living with HIV: Comparison of Four Cardiovascular Risk Prediction Algorithms

Privacy preferences

Dynamics of States with Non-Zero Moment in Own Field

IntelliPaper

Request Review Access

Order Article Reprints

− Abstract

− Explore Digital Article Text

I. Введение

II. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

− Conflict of Interest

− Ethical Approval

− Data Availability

− Funding

− References

− Cite this article

− Related Research

Version of record

Issue date

Language

Special Issue

Next Research

Copy of Cardiovascular Risk Factors and Cardiovascular Risk in People Living with HIV: Comparison of Four Cardiovascular Risk Prediction Algorithms

Privacy preferences