IntelliPaper
Abstract
The work is devoted to the study of the Bianchi transform for surfaces of constant negative Gaussian curvature. The surfaces of rotation of constant negative Gaussian curvature are the Mining top, the Minding coil, the pseudosphere (Beltrami surface). Surfaces of constant negative Gaussian curvature also include Kuens surface and the Dinis surface. The study of surfaces of constant negative Gaussian curvature (pseudospherical surfaces) is of great importance for the nterpretation of Lobachevsky planimetry. The connection of the geometric characteristics of pseudospherical surfaces with the theory of networks, with the theory of solitons, with nonlinear differential equations and sin-Gordon equations is established. The sin -Gordon equation plays an important role in modern physics. Bianchi transformations make it possible to obtain new pseudospherical surfaces from a given pseudospherical surface.
Explore Digital Article Text
Имеем
Формулы (5) в силу(4) примут вид
Потребуем, чтобы <V,V>=1. Тогда .
Построим поверхность , полагая (рис.2, рис.3).
Рис.2: Преобразование Бианки катушки Миндинга,
Рис.3: Преобразование Бианки катушки Миндинга,
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
-
Kagan V.F. Fundamentals of the theory of surfaces in the tensor exposition. T. 2, M., L. (1948)
-
Norden A.P. On the foundations of geometry. M., ГИТТЛ, (1956).
-
Krivoshapko S.N., Ivanov V.N., Chalabi S.M., Analytical surfaces. M., Nauka, (2006).
Работа посвящена изучению преобразования Бианки для поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны. Поверхности вращения постоянной отрицательной гауссовой кривизны — это волчок Миндинга, катушка Миндинга, псевдосфера (поверхность Бельтрами). Изучение поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны (псевдосферических поверхностей) имеет большое значение для интерпретаций планиметрии Лобачевского. Установлена связь геометрических характеристик псевдосферических поверхностей с теорией сетей, с теорией солитонов, с нелинейными дифференциальными уравнениями и уравнениями синус-Гордона. Уравнение sin-Гордона играет важную роль в современной физике. Преобразования Бианки позволяют по данной псевдосферической поверхности получить новые псевдосферические поверхности.
В евклидовом пространстве рассмотрим поверхность вращения M, полученную вращением плоской кривой вокруг оси. Обозначим через —орт оси, а через —радиус-вектор единичной окружности, расположенной в плоскости, ортогональной оси. Тогда поверхность M можно задать в виде:
Рассмотрим две гладкие поверхности и диффеоморфизм . Касательные плоскости в соответствующих точках пересекаются по прямой , образуя прямой двугранный угол, причем вектор где — орт, . Обозначим через n — орт нормали к поверхности M в точке . Тогда касательная плоскость к поверхности в точке имеет вид . Теорема Бианки утверждает, что если поверхность M имеет гауссову кривизну , то и поверхность имеет ту же кривизну.
Обозначим через радиус-вектор поверхности , а через — радиус-вектор поверхности . Полагаем и рассмотрим отображение [2, с. 489].
Conflict of Interest
The authors declare no conflict of interest.
Ethical Approval
Not applicable
Data Availability
The datasets used in this study are openly available at [repository link] and the source code is available on GitHub at [GitHub link].
Funding
This work did not receive any external funding.
References
Cite this article
Related Research
Special Issue
Launch a focused special issue to highlight research, emerging trends, and expert insights in your academic field.
